Tangenti, integrali e infinitesimi: la rivoluzione di Leibniz

Queste due domande, per quanto diverse, sono accomunate dal metodo con cui è possibile calcolare matematicamente la risposta. Averlo dimostrato è una delle grandi imprese compiute da Leibniz durante il periodo parigino.

Un percorso di montagna può essere ridefinito, in termini matematici, come la pendenza di una curva, e da molto tempo si sa che la pendenza di una retta si può calcolare servendosi di un triangolo rettangolo. Ma come si fa a rappresentare una curva con l'aiuto di triangoli rettangoli?

Semplice: suddividendo la curva in un numero infinito di piccole rette. Se ci troviamo, per esempio, su una spiaggia e guardiamo il mare, l'orizzonte ci apparirà come una lunga linea retta. Ma se comprendiamo che quella retta non è che un minuscolo segmento della curva formata dalla superficie terrestre, e che l'intero globo è composto da un numero enorme di questi minuscoli segmenti che chiamiamo «orizzonte», siamo in grado di immaginare come una curva possa essere suddivisa in tante rette di lunghezza infinitamente piccola.

In ogni punto di una curva, la pendenza è diversa. Per conoscere il valore della pendenza in un particolare punto, occorre determinare la tangente alla curva in quel punto. Per individuare la tangente, Leibniz collega due punti della curva abbastanza vicini tra loro con una retta (detta «secante», ossia che interseca la curva), dopodiché avvicina sempre più quei due punti tra loro, finché la secante diventa una tangente, ossia una retta che collega due punti della curva situati a distanza infinitamente piccola tra loro.

Al tempo stesso, Leibniz elabora un formalismo algebrico che gli consente di descrivere questi processi geometrici attraverso formule, trasformandoli cioè in equazioni funzionali. A questo punto la logica può essere anche capovolta. L'area delimitata da una curva può essere misurata suddividendola in innumerevoli rettangoli infinitamente piccoli, le cui aree, sommate, daranno un totale pressoché equivalente all'area che si voleva misurare. Anche in questa operazione la tangente è utilizzata come caso limite di due punti infinitamente vicini che formano una curva, ossia una linea leggermente incurvata.

La pendenza di una curva (differenziale) e l'area delimitata dalla curva stessa (integrale) si possono ricavare semplicemente ribaltando il metodo di calcolo. Poiché tale metodo utilizza, in entrambi i casi, quantità infinitamente piccole (infinitesimali), il calcolo infinitesimale di Leibniz comprende sia il calcolo differenziale sia il calcolo integrale; il calcolo delle pendenze e quello delle aree sono operazioni inverse l'una dell'altra. Con l'inverso del metodo della tangente, dunque, una curva, vale a dire una linea incurvata, può essere equiparata a una linea spezzata o poligonale, che si può concepire come composta da infiniti lati infinitamente piccoli di un poligono.