Tesina sull’equazione esponenziale

Tesina sull’equazione esponenziale

Dati due numeri reali positivi a e N, esiste qualche numero reale x

..... che, dato per esponente ad a, riproduce il numero N? a? = N che dicesi equazione esponenziale, poiché l'incognita si trova all'esponente. Questa equazione è risolvibile graficamente, quando sia tracciata la curva esponenziale di equazione y = a?. Tracciata la curva esponenziale di equazione y = a? e la retta y=N parallela all'asse delle ascisse, il valore richiesto della x è l'ascissa del punto P in cui la retta incontra la curva. L'equazione esponenziale non ammette soluzioni quando è N1 0 1 è x > 0 Dalla fig. 2, per 0 < a < 1: se 0 < N < 1 è x > 0 se N = 1 è x = 0 se N > 1 è x < 0. Logaritmi Si è dunque dimostrato che l'equazione a?= N ammette sempre una e una sola soluzione, sotto la sola condizione che a e N siano numeri reali positivi ed a diverso dall'unità. Il numero x che soddisfa l'equazione esponenziale si dice logaritmo del numero N in base a e si denota con: loga N.









Il numero N prende il nome di argomento del logaritmo. Le due equazioni: a? = N e x = loga N sono equivalenti tra loro. Il logaritmo di un numero (positivo), in una data base (positiva, diversa da 1), è l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere il numero dato. Così, sfruttando il fatto che: per a > 0, a?1, b > 0 è x = loga b se e soltanto se è a? = b, si può, per esempio, osservare che l'uguaglianza 2³=8 può trasformarsi nell'uguaglianza 3 = log? 8, passando così dalla forma esponenziale alla forma logaritmica. E così, analogamente, sono equivalenti le seguenti forme: log?? 1000 = 3 e 10³ = 1000 m = logn p e n = p 1/5 = log32 2 e 32 =2 In particolare si noti che dall'uguaglianza a? = 1 deriva che 0 è l'esponente da dare alla base a per ottenere 1, cioè: a? = 1 ? loga 1 = 0. Analogamente a¹ = a ? loga a = 1. Si deduce quindi che: qualunque sia la base, il logaritmo di 1 è uguale a zero e il logaritmo della base è uguale a 1. Il logaritmo di un numero risulta positivo se la base ed il numero sono entrambi maggiori di 1 o entrambi compresi tra 0 e 1; risulta invece negativo se la base ed il numero sono l'uno maggiore di 1 e l'altro compreso tra 0 e 1 o viceversa. Ne deriva che: se la base è maggiore di 1, i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi negativi; se la base è minore di 1, i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi negativi e quelli minori di 1 logaritmi positivi. L'insieme di tutti i logaritmi dei numeri positivi in una data base a si chiama sistema di logaritmi a base a.







La curva logaritmica Si definisce curva logaritmica di base a, il diagramma della funzione y = loga x, con a ? R? , a ? 1, x ? R? Supponendo che sia a > 1, si ha: per x = 1, y = loga 1 = 0 per x > 1, y = loga x > 0 per 0 < x < 1, y = loga x < 0 e precisamente quando il numero x > 1 cresce, anche il logaritmo cresce e prendendo x abbastanza grande, il logaritmo diventa frande fin che si vuole.

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